ریاضیات مهندسی – جلد اول (کتاب الکترونیک)

عددهای مختلط

در این فصل به بررسی ساختار جبری و هندسی سیستم عددهای مختلط می پردازیم. فرض می شود که خواننده با برخی از ویژگی های عددهای حقیقی آشنایی دارد.

 

1- جمع و ضرب

عددهای مختلط را می توان به صورت زوج های مرتب  از عددهای حقیقی تعریف نمود که می بایست به عنوان نقطه هایی در صفحه مختلط، با مختصات مستطیلی  و  در نظر گرفته شوند؛ درست همانند عددهای حقیقی  که به عنوان نقطه هایی بر روی خط حقیقی تفسیر می شوند. هنگامی که عددهای حقیقی  به عنوان نقطه های  بر روی محور حقیقی نمایش داده می شوند، روشن است که در مجموعه عددهای مختلط، عددهای حقیقی به عنوان زیر مجموعه، حساب می شوند. عددهای حقیقی به صورت  مربوط به نقطه هایی بر روی محور  هستند و هنگامی که  باشد، به آنها عددهای موهومی خالص گفته می شود، بنابراین به محور ، محور موهومی گفته می شود.

به صورت معمول، یک عدد مختلط  با  نشان داده می شود؛ بطوری که (شکل 1 را ببینید) می توان نوشت:

(1)

عددهای حقیقی  و  به عنوان بخش های حقیقی و موهومی  در نظر گرفته می شوند و بنابراین داریم:

(2)

دو عدد مختلط  و  هنگامی برابر هستند که دارای بخش های حقیقی یکسان و بخش های موهومی یکسان باشند. بنابراین، عبارت  به این معنی است که  و  مربوط به یک نقطه در صفحه مختلط یا  می باشند.

 

 

شکل 1

جمع  و ضرب  مربوط به دو عدد مختلط:

و

به صورت زیر تعریف می شوند:

(3)                                                                                                                                                                                                                                       (4)

توجه کنید که عملیات تعریف شده در رابطه های (3) و (4) هنگامی که محدود به عددهای حقیقی باشند، تبدیل به عملیات معمولی جمع و ضرب می شوند:

بنابراین، سیستم عدد مختلط، یک بسط طبیعی از سیستم عدد حقیقی می باشد.

هر عدد مختلط  را می توان به صورت  نوشت و می توان به سادگی مشاهده نمود که  می باشد. بنابراین:

اگر یک عدد حقیقی را با  یا  نشان دهیم و  نشان دهنده عدد موهومی خالص  باشد، همانگونه که در شکل 1 نشان داده شده است، روشن است که رابطه زیر برقرار است:

(5)

و همچنین با در نظر گرفتن این قرارداد که  و  و … داریم:

یا:

(6)

از آنجایی که ، پس تعریف های (3) و (4) تبدیل به عبارت های زیر می شوند:

(7)                                                                       (8)

توجه کنید که طرف راست این رابطه ها را می توان با انجام برخی عملیات ریاضی بر روی طرف چپ و با این فرض که تنها عددهای حقیقی به کار رفته اند و نیز جایگزینی  با  بدست آورد. همچنین توجه کنید که رابطه (8) نشانگر این نکته است که هر عدد مختلط ضرب در صفر برابر با صفر است. به بیان دیگر برای هر عدد بصورت داریم:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2- ویژگی های ریاضی پایه^[4]

چندین ویژگی از جمع و ضرب عددهای مختلط، همانند عددهای حقیقی می باشد. در اینجا ساده ترین ویژگی های ریاضی را بیان می کنیم و برخی از آن ها را ثابت خواهیم نمود. بیشتر دیگر ویژگی ها، در تمرین ها ثابت خواهند شد.

قانون های جابجایی^[5]:

(1)

و قانون های شرکت پذیری^[6]:

(2)

به سادگی از تعریف های بخش 1 درباره جمع و ضرب عددهای مختلط و نیز این نکته که عددهای حقیقی از این قوانین پیروی می کنند، نتیجه می شوند. برای مثال، اگر داشته باشیم:

و

آنگاه:

اثبات دیگر قانون های گفته شده در بالا به همراه قانون توزیع پذیری^[7]:

(3)

مشابه هستند.

بر اساس قانون جابجایی برای جمع،  می باشد. بنابراین بجای  می توان عبارت   را نوشت. همچنین بر اساس قانون شرکت پذیری، جمع  یا ضرب ، بدون پرانتز نیز دارای معنی هستند؛ همانگونه که در عددهای حقیقی، اینگونه می باشد.

ویژگی جمع^[8] به صورت  و ویژگی ضرب به صورت  برای عددهای حقیقی، در سراسر سیستم  عدد های مختلط، معتبر می باشند. به بیان دیگر، عبارت های:

(4)                                                                                                           و

برای هر عدد مختلط  برقرار می باشند. به علاوه، 0 و 1 تنها عددهای مختلطی هستند که دارای چنین ویژگی هایی هستند (تمرین 8 را ببنید.).

هر عدد مختلط به فرم ، دارای معکوس جمع به صورت:

(5)

می باشد که در رابطه  صدق می کند. به علاوه، به ازای هر عدد مختلط ، تنها یک معکوس جمع وجود دارد؛ چرا که رابطه:

القا می کند که:

و

به ازای هر عدد مختلط غیر صفر ، عدد  بگونه ای که  شود، وجود دارد. این معکوس ضرب، به نسبت معکوس جمع، کمتر شناخته شده می باشد. برای یافتن آن، به دنبال عددهای حقیقی   و  که بر حسب    و  بیان شده اند، خواهیم گشت؛ بگونه ای که:

 

بر اساس رابطه (4) از بخش 1، که ضرب دو عدد مختلط را تعریف می کند،  و  باید در رابطه های هم زمان خطی زیر صدق کنند:

و

با یک محاسبه ساده، به پاسخ یکتای زیر می رسیم:

 

بنابراین، معکوس ضرب متعلق به، به صورت زیر می باشد:

(6)

معکوس  هنگامی که  باشد، تعریف نمی شود. در حقیقت، عبارت  به معنی این است که  می باشد؛ و این حالت در عبارت (6) مجاز نیست.

در بخش 2 چنین ویژگی هایی همچنان پیش بینی خواهند شد و به دلیل این که این ویژگی ها در عددهای حقیقی نیز بر قرار هستند، بنابراین خواننده می تواند بدون هیچ مشکلی به بخش 4 مراجعه کند.

با توجه به وجود معکوس های ضرب، می توان گفت که اگر حاصل ضرب  برابر با صفر باشد، آنگاه دست کم، یکی از فاکتورهای  و  نیز برابر با صفر است. فرض کنید که  و  باشد. معکوس وجود دارد و هر عدد مختلط ضرب در صفر، برابر با صفر است (بخش 1). بنابراین:

اگر  باشد، آنگاه یا  و یا  می باشد و ممکن است هر دو عدد  و  برابر با صفر باشند. راه دیگر برای بیان این نتیجه، این است که گفته شود که اگر دو عدد مختلط  و  غیر صفر باشند، آنگاه حاصل ضرب  نیز غیر صفر است.

تفریق و تقسیم بر حسب معکوس های جمع و ضرب تعریف شده اند:

(1)

(2)

بنابراین با توجه به عبارت های (5) و (6) از بخش 2 می توان نوشت:

(3)

و:

(4)

رابطه های بالا زمانی برقرار هستند که  و  باشد.

با فرض  و ، می توان عبارت های (3) و (4) را به صورت زیر نوشت:

(5)

و:

(6)

اگر چه به یادسپاری رابطه (6) آسان نیست، می توان آن را به صورت زیر نیز نوشت (تمرین 7 را ببینید.):

(7)

تمرین

1- عبارت های زیر را ثابت کنید:

الف)

ب)

ج)

2- نشان دهید که:

الف)

ب)

3-  نشان دهید که عبارت زیر برقرار است:

4- نشان دهید که هر کدام از دو عدد  در رابطه  صدق می کنند.

5- ثابت کنید که همانگونه که در ابتدای بخش 2 اشاره شد، ضرب عددهای مختلط، ویژگی جابجایی دارد.

6- عبارت های زیر را ثابت کنید:

الف) قانون شرکت پذیری برای جمع عددهای مختلط، همانگونه که در ابتدای بخش 2 اشاره شد.

ب) قانون توزیع پذیری (3) از بخش 2.

7- از قانون شرکت پذیری برای جمع و قانون توزیع پذیری استفاده کنید و نشان دهید که عبارت زیر برقرار است:

 

8- الف) فرض کنید  و نشان دهید که چگونه می توان نتیجه گرفت که عدد مختلط  به عنوان یک ویژگی جمع، یکتا است.

ب) فرض کنید که  و نشان دهید که عدد  یک ویژگی یکتای ضرب است.

9- عبارت های  و  را در نظر بگیرید و نشان دهید که  می باشد.

10- عبارت های   و  را در نظر بگیرید و ثابت کنید که  می باشد. بنابراین نشان دهید که معکوس جمع عدد مختلط  را می توان بدون هیچ ابهامی به صورت  نوشت.

11- رابطه  را با فرض  و نوشتن عبارت زیر، حل کنید:

و سپس چندین رابطه همزمان را برای  و  حل نمایید.

پیشنهاد: از این حقیقت که هیچ عدد حقیقی  در رابطه داده شده صدق نمی کند، استفاده کنید و نشان دهید که  می باشد.

پاسخ:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3- ویژگی های دیگر

در این بخش به بررسی برخی دیگر از ویژگی های جبری جمع و ضرب عددهای مختلط می پردازیم. ویژگی زیر را در نظر بگیرید:

(8)

انگیزه آغاز با رابطه (7) در بخش 5 ظاهر خواهد شد.

مثال: به روش زیر توجه کنید:

برخی از ویژگی های مورد انتظار، شامل خارج قسمت هایی هستند که از رابطه زیر پیروی می کنند:

(9)

و هنگامی که  باشد، رابطه گفته شده برابر با رابطه (2) می باشد. با استفاده از رابطه (9) می توان بطور مثال، رابطه (2) را به شکل زیر نوشت:

(10)

همچنین با توجه به رابطه زیر (تمرین 3 را ببینید):

 

و این که  می باشد، می توان از رابطه (9) استفاده نمود و نشان داد که:

(11)

ویژگی مفید دیگری که در تمرین ها ثابت خواهد شد، رابطه زیر می باشد:

(12)

در پایان اشاره می کنیم که فرمول دو جمله ای، که شامل عددهای حقیقی است، برای عددهای مختلط نیز معتبر        می باشد. بنابراین، اگر  و  دو عدد مختلط غیر صفر باشند، آنگاه:

(13)

و:

 

و بنابر قرارداد،  می باشد. اثبات این عبارت به عنوان تمرین داده می شود.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

تمرین

1- هر یک از عبارت های زیر را به یک عدد حقیقی ساده کنید.

الف)

ب)

ج)

پاسخ:  الف)      ب)      ج)

2- نشان دهید که عبارت زیر برقرار است:

 

3- از قانون های شرکت پذیری و جابجایی برای ضرب استفاه کنید و نشان دهید که عبارت زیر برقرار است:

4- ثابت کنید که اگر  باشد، آنگاه دست کم یکی از این سه فاکتور برابر با صفر است.

پیشنهاد: عبارت  را بنویسید و از نتیجه مشابه (بخش 3) شامل دو فاکتور استفاده کنید.

5- عبارت (6) از بخش 3 را برای تقسیم ، با روشی که درست پس از آن بخش توضیح داده شد، بدست آورید.

6- با کمک رابطه های (10) و (11) از بخش 3، ویژگی زیر را به دست آورید:

 

7- از ویژگی بدست آمده در تمرین 6 استفاده کنید و قانون حذف^[9] را بدست آورید:

 

8- از استقرای ریاضی^[10] برای اثبات فرمول دو جمله ای (13) از بخش 3 استفاده کنید. توجه کنید که این فرمول برای حالتی که  می باشد، درست است. سپس با فرض این که این فرمول برای حالتی که  و  نشان دهنده یک عدد صحیح مثبت است، معتبر باشد، نشان دهید که باید برای حالت  نیز برقرار باشد.

پیشنهاد: هنگامی که  باشد، بنویسید:

 

و در آخرین جمع،  را با  جایگزین کنید تا عبارت زیر را بدست آورید:

در پایان، نشان دهید که چگونه طرف راست تبدیل به عبارت زیر می شود:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4- بردارها و مدول ها^[11]

هر عدد مختلط غیر صفر  را با یک پاره خط جهت دار، یا یک بردار، از مبدأ به طرف نقطه ، بطوری که نشان دهنده  در صفحه مختلط باشد، نمایش می دهند. در حقیقت، اغلب منظور از ، نقطه  یا بردار        می باشد. در شکل 2، عدد های  و  به صورت گرافیکی و به صورت هم نقطه و هم بردار شعاعی نشان داده شده اند.

شکل 2

هنگامی که  و  باشد، آنگاه جمع:

متعلق به نقطه  می باشد؛ همچنین متعلق به برداری است که مختصات های گفته شده،           مولفه های آن هستند. بنابراین  را می توان به صورت برداری و به صورت نشان داده شده در شکل 3 نمایش دارد.

شکل 3

همچنین حاصلضرب دو عدد مختلط  و ، خود یک عدد مختلط است که با یک بردار نشان داده می شود و آن بردار در همان صفحه مربوط به بردارهای  و  قرار دارد. بنابراین، این حاصلضرب، نه یک اسکالر و نه یک حاصلضرب برداری به کار رفته در تحلیل برداری معمولی می باشد.

تفسیر برداری عددهای مختلط در بسط مفهوم مقدارهای مطلق عددهای حقیقی به صفحه مختلط، بسیار سودمند است. مدول^[12] یا مقدار مطلق عدد مختلط ، به صورت عدد حقیقی غیر منفی  تعریف می شود و با  نشان داده می شود؛ به صورتی که:

(1)

به صورت هندسی، عدد  فاصله میان نقطه  و مبدا، یا طول بردار شعاعی نشان دهنده  می باشد. هنگامی که  باشد، آنگاه به مقدار مطلق معمولی در سیستم عدد حقیقی، ساده می شود. توجه شود که                     نامساوی ،  در صورتی که هر دوی  و  حقیقی باشند، معنادارخواهد بود، ولی عبارت  به این معنی است که نقطه  نسبت به نقطه ، به مبدا نزدیک تر است.

مثال 1: از آنجایی که  و  می باشد، می دانیم که نقطه  نسبت به نقطه  به مبدا نزدیک تر است.

فاصله میان دو نقطه  و  به صورت  نشان داده می شود. این نکته در تصویر 4  قابل مشاهده است؛ چرا که  طول بردار نشان دهنده عدد:

می باشد و با انتقال بردار شعاعی ، می توان نتیجه گرفت که ، پاره خطی جهت دار از نقطه  به نقطه  می باشد. به بیانی دیگر، از عبارت:

و تعریف (1) می توان نتیجه گرفت که:

شکل 4

عددهای مختلط  متعلق به نقطه هایی که بر روی دایره ای به مرکز  و شعاع  هستند، در رابطه  صدق می کنند و برعکس. بطور ساده، این دسته از نقطه ها به صورت دایره  شناخته می شوند.

مثال 2: رابطه  نشان دهنده دایره ای به مرکز  و شعاع  است.

از تعریف (1) چنین برداشت می شود که عددهای حقیقی ، و  توسط رابطه زیر به یکدیگر مرتبط هستند:

(2)

بنابراین نتیجه می شود که:

(3)                                                                             و

اکنون به نامساوی مثلثی^[13] اشاره می کنیم که یک کران بالا برای مدول جمع دو عدد مختلط  و  فراهم می آورد:

(4)

این نامساوی مهم، بصورت هندسی در شکل 3 قابل مشاهده می باشد؛ چرا که بیان می دارد که طول یک ضلع از یک مثلث، کمتر یا برابر با جمع طول های دو ضلع دیگر می باشد. همچنین از شکل 3 نتیجه می شود که نامساوی (4)، هنگامی که 0،  و  بر روی یک خط (هم خط) باشند، تبدیل به یک مساوی می شود. یک نتیجه مهم دیگر، در تمرین 15 از بخش 5 ارائه شده است.

یک نتیجه مهم از نامساوی مثلثی، عبارت زیر می باشد:

(5)

برای دست یابی به نامساوی (5)، می نویسیم:

که به این معنی است که:

(6)

این همان نامساوی (5) است؛ هنگامی که  می باشد، اگر  باشد، کافی است که جای  و  را با یکدیگر در نامساوی (6) عوض کرده تا به نامساوی زیر برسیم:

که همان نتیجه دلخواه می باشد. نامساوی (5) به ما می گوید که طول یک ضلع از یک مثلث، بزرگتر از یا برابر با تفاضل طول دیگر ضلع ها می باشد.

از آنجایی که  می باشد، می توان  را با  در نامساوی های (4) و (5) جایگزین نمود و این        نتیجه ها را به فرم سودمند زیر، خلاصه نمود:

(7)

(8)

با ترکیب رابطه های (7) و(8) می توان به رابطه زیر دست پیدا نمود:

(9)

مثال 3: اگر نقطه  بر روی دایره واحد  حول مبدا قرار داشته باشد، آنگاه از نامساوی های (7) و (8) نتیجه  می شود که عبارت های زیر بر قرار هستند:

با کمک استقرای ریاضی می توان به نامساوی مثلثی (4)، برای جمع های شامل هر تعداد متناهی از ترم ها، عمومیت داد:

(10)

برای بیان جزئیات درباره ی اثبات استقرا، توجه کنید که هنگامی که  باشد، نامساوی (10) تبدیل به نامساوی (4) می شود. به علاوه، اگر نامساوی (10) برای حالتی که  است، معتبر باشد، آنگاه برای حالت  نیز معتبر است؛ چرا که بر اساس نامساوی (4) داریم:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

تمرین

1- عددهای  و  را به صورت برداری برای حالت های زیر، نشان دهید:

الف)      و

ب)      و

ج)       و

د)      و

2- نامساوی های (3) از بخش 4، که شامل ،   و  می باشند، را ثابت کنید.

3- از ویژگی های تعیین شده مدول ها استفاده کنید و نشان دهید که اگر  باشد، آنگاه:

4- عبارت زیر را ثابت کنید:

پیشنهاد: این نامساوی را به صورت  ساده کنید.

5- برای هر حالتی، دسته نقطه ها را رسم کنید:

الف)

ب)

ج)

6- با استفاده از این نکته که  نشان دهنده فاصله میان دو نقطه  و  می باشد، یک آرگومان هندسی ارائه دهید مبنی بر این که:

الف)   نشان دهنده یک بیضی با نقطه های کانونی  می باشد.

ب)   نشان دهنده خط گذرا از مبدا با شیب  می باشد.

 

5- مزدوج های مختلط^[14]

مزدوج های مختلط، یا بطور ساده، مزدوج عدد مختلط  بصورت عدد مختلط  تعریف می شود و با نماد  نشان داده می شود؛ بطوری که:

(1)

عدد  توسط نقطه  نشان داده می شود و انعکاس نقطه  با نماد  در محور حقیقی می باشد (به شکل ۵ توجه کنید).

توجه کنید که به ازای همه  ها داریم:

و

شکل 5

اگر  و  باشد، آنگاه داریم:

بنابراین، مزدوج جمع، برابر است با جمع مزدوج ها:

(2)

به روشی مشابه، می توان نشان داد که:

(3)

(4)

(5)

جمع  از عدد مختلط   و مزدوج آن، عدد ، برابر با عدد حقیقی  می باشد و تفریق  برابر با عدد کاملاً موهومی  می باشد، بنابراین:

و

یک ویژگی مهم، که مزدوج عدد مختلط  را به مدول خود مرتبط می سازد، از این قرار است:

(7)

و هر طرف این رابطه، برابر با  می باشد. با استفاده از آن می توان تقسیم ، که با عبارت (7) از بخش 3 آغاز می شود، را تعیین نمود. در این روش، صورت و مخرج  را در  ضرب می کنیم و در نتیجه، مخرج تبدیل به عدد حقیقی  می شود.

مثال 1: عبارت زیر را مشاهده کنید:

همچنین مثال موجود در بخش 3 را مشاهده کنید.

ویژگی (7) در دست یابی به ویژگی های مدول ها از ویژگی های مزدوج ها که در بالا اشاره شد، سودمند می باشد. اشاره می کنیم که:

(8)

(9)

ویژگی (8) را می توان با نوشتن عبارت زیر:

و یادآوری این که یک مدول، هرگز منفی نیست، بدست آورد.

مثال2: ویژگی (8) به ما می گوید که  و  می باشد. بنابراین اگر  نقطه ای درون دایره ای به مرکز مبدا با شعاع 2 باشد، آنگاه  بوده و از نامساوی مثلثی عمومی شده (10) از بخش 4 می توان نتیجه گرفت که عبارت زیر بر قرار است:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

تمرین

1- از ویژگی های مزدوج ها و مدول ها، که در بخش 5 بدست آمد، استفاده کنید و نشان دهید که:

الف)

ب)

ج)

د)

2- دسته نقطه های تعیین شده با شرط های زیر را رسم کنید:

الف)

ب)

3- ویژگی های (3) و (4) درباره مزدوج ها در بخش 5 را ثابت کنید.

4- از ویژگی (4) درباره مزدوج ها در بخش 5 استفاده کنید و نشان دهید که:

الف)

ب)

5- ویژگی (9) درباره مدول ها در بخش 5 را ثابت کنید.

6- از نتیجه های موجود در بخش 5 استفاده کنید و نشان دهید که اگر  و  غیر صفر باشند، آنگاه:

الف)

ب)

7- نشان دهید که عبارت زیر درست است:

هنگامی که

8- در بخش 3 نشان داده شده که اگر  باشد، آنگاه دست کم یکی از عددهای  و  باید برابر با صفر باشند. بر پایه نتیجه مربوطه برای عددهای حقیقی و با استفاده از ویژگی (8) از بخش 5، یک اثبات جایگزین ارائه نمایید.

9- با تجزیه عبارت  به دو فاکتور درجه دو^[15] و با استفاده از نامساوی (8) از بخش 4، نشان دهید که اگر  بر روی دایره  باشد، آنگاه:

10-ثابت کنید که:

الف)  حقیقی است، اگر و تنها اگر  باشد.

ب)  یا حقیقی و یا کاملاً موهومی است، اگر و تنها اگر  باشد.

11- از استقرای ریاضی استفاده کنید و نشان دهید که اگر  باشد، آنگاه:

الف)

ب)

12- فرض کنید که    نشان دهنده عددهای حقیقی و  نشان دهنده یک عدد مختلط باشند. با کمک نتیجه های موجود در تمرین 11، نشان دهید که:

13-نشان دهید که رابطه  متعلق به یک دایره به مرکز  و شعاع  را می توان به صورت زیر نوشت:

14- از عبارت های (6) از بخش 5 برای  و  استفاده کنید و نشان دهید که هذلولی  را      می توان به صورت زیر نوشت:

15- بخش های زیر را به ترتیب طی کنید تا به نامساوی مثلثی زیر دست پیدا کنید (بخش 4):

الف) نشان دهید که:

ب) توضیح دهید که چرا عبارت زیر برقرار است:

ج) از نتیجه های موجود در بخش های الف و ب استفاده کنید و نامساوی زیر را بدست آورید:

و توجه کنید که چگونه نامساوی مثلثی، نتیجه می شود.

 

[1] Complex Variables and Applications – Eighth Edition

[2] James Ward Brown

[3] Ruel V. Churchill

[4] Basic Algebraic Properties

[5] The Commutative Laws

[6] The Associative Laws

[7] The Distributive Law

[8] Additive Identity

[9] Cancellation Law

[10] Mathematical Induction

[11] Vectors and Moduli

[12] Modulus

[13] Triangle Inequality

[14] Complex Conjugates

[15] Quadratic